2

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «МАТЕМАТИКА»
Рабочая программа по учебному предмету «Математика» углублённого уровня для
обучающихся 10—11 классов разработана на основе Федерального государственного
образовательного стандарта среднего общего образования, с учётом современных мировых
требований, предъявляемых к математическому образованию, и традиций российского
образования. Реализация программы обеспечивает овладение ключевыми компетенциями,
составляющими основу для саморазвития и непрерывного образования, целостность
общекультурного, личностного и познавательного развития личности обучающихся.
В рабочей программе учтены идеи и положения «Концепции развития математического
образования в Российской Федерации». В соответствии с названием концепции математическое
образование должно, в частности, решать задачу обеспечения необходимого стране числа
выпускников, математическая подготовка которых достаточна для продолжения образования по
различным направлениям, включая преподавание математики, математические исследования,
работу в сфере информационных технологий и др., а также обеспечения для каждого
обучающегося возможности достижения математической подготовки в соответствии с
необходимым ему уровнем. Именно на решение этих задач нацелена Примерная рабочая
программа углублённого уровня.
В эпоху цифровой трансформации всех сфер человеческой деятельности невозможно
стать образованным современным человеком без хорошей математической подготовки. Это
обусловлено тем, что в наши дни растёт число специальностей, связанных с непосредственным
применением математики: и в сфере экономики, и в бизнесе, и в технологических областях, и
даже в гуманитарных сферах. Таким образом, круг обучающихся, для которых математика
становится значимым предметом, фундаментом образования, существенно расширяется. В него
входят не только обучающиеся, планирующие заниматься творческой и исследовательской
работой в области математики, информатики, физики, экономики и в других областях, но и те,
кому математика нужна для использования в профессиях, не связанных непосредственно с ней.
Прикладная значимость математики обусловлена тем, что её предметом являются
фундаментальные структуры нашего мира: пространственные формы и количественные
отношения, функциональные зависимости и категории неопределённости, от простейших,
усваиваемых в непосредственном опыте, до достаточно сложных, необходимых для развития
научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено
понимание принципов устройства и использования современной техники, восприятие и
интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации,
малоэффективна повседневная практическая деятельность. Во многих сферах профессиональной
деятельности требуются умения выполнять расчёты, составлять алгоритмы, применять формулы,
проводить геометрические измерения и построения, читать, обрабатывать, интерпретировать и
представлять информацию в виде таблиц, диаграмм и графиков, понимать вероятностный
характер случайных событий.
Одновременно с расширением сфер применения математики в современном обществе всё
более важным становится математический стиль мышления, проявляющийся в определённых
умственных навыках. В процессе изучения математики в арсенал приёмов и методов мышления
человека естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация,
анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты
математических умозаключений, правила их конструирования раскрывают механизм логических
построений, способствуют выработке умения формулировать, обосновывать и доказывать
суждения, тем самым формируют логический стиль мышления. Ведущая роль принадлежит
математике в формировании алгоритмической компоненты мышления и воспитании умений
действовать по заданным алгоритмам, совершенствовать известные и конструировать новые. В

3

процессе решения задач — основы для организации учебной деятельности на уроках
математики — развиваются творческая и прикладная стороны мышления.
Обучение математике даёт возможность развивать у учащихся точную, рациональную и
информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые, символические,
графические средства для выражения суждений и наглядного их представления.
Необходимым компонентом общей культуры в современном толковании является общее
знакомство с методами познания действительности, представление о предмете и методе
математики, его отличиях от методов естественных и гуманитарных наук, об особенностях
применения математики для решения научных и прикладных задач. Таким образом,
математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека.
Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию
красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм,
усвоению идеи симметрии.
ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «МАТЕМАТИКА»
Приоритетными целями обучения математике в 10—11 классах на углублённом уровне
продолжают оставаться:

формирование центральных математических понятий (число, величина,
геометрическая фигура, переменная, вероятность, функция, производная, интеграл),
обеспечивающих преемственность и перспективность математического образования
обучающихся;

подведение учащихся на доступном для них уровне к осознанию взаимосвязи
математики и окружающего мира, пониманию математики как части общей культуры
человечества;

развитие интеллектуальных и творческих способностей учащихся, познавательной
активности, исследовательских умений, критичности мышления, интереса к изучению
математики;

формирование
функциональной
математической
грамотности:
умения
распознавать математические аспекты в реальных жизненных ситуациях и при изучении других
учебных предметов, проявления зависимостей и закономерностей, формулировать их на языке
математики и создавать математические модели, применять освоенный математический аппарат
для решения практико-ориентированных задач, интерпретировать и оценивать полученные
результаты.
Основные линии содержания курса математики в 10 —11классах углублённого уровня:
«Числа и вычисления», «Алгебра» («Алгебраические выражения», «Уравнения и неравенства»),
«Начала математического анализа», «Геометрия» («Геометрические фигуры и их свойства»,
«Измерение геометрических величин»), «Вероятность и статистика». Данные линии развиваются
параллельно, каждая в соответствии с собственной логикой, однако не независимо одна от
другой, а в тесном контакте и взаимодействии. Кроме этого, их объединяет логическая
составляющая, традиционно присущая математике и пронизывающая все математические курсы
и содержательные линии. Сформулированное в Федеральном государственном образовательном
стандарте среднего общего образования требование «умение оперировать понятиями:
определение, аксиома, теорема, следствие, свойство, признак, доказательство, равносильные
формулировки; умение формулировать обратное и противоположное утверждение, приводить
примеры и контрпримеры, использовать метод математической индукции; проводить
доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность
рассуждений» относится ко всем курсам, а формирование логических умений распределяется по
всем годам обучения на уровне среднего общего образования.
МЕСТО УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «МАТЕМАТИКА» В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
В соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего
общего образования математика является обязательным предметом на данном уровне
образования. Настоящей Примерной рабочей программой предусматривается изучение учебного
предмета «Математика» в рамках трёх учебных курсов: «Алгебра и начала математического

4

анализа», «Геометрия», «Вероятность и статистика». Формирование логических умений
осуществляется на протяжении всех лет обучения в старшей школе, а элементы логики
включаются в содержание всех названных выше курсов.
В Учебном плане на изучение математики в 10—11классах на углублённом уровне
отводится 8 учебных часов в неделю в течение каждого года обучения, всего 560учебных часов.
Тематическое планирование учебных курсов и рекомендуемое распределение учебного
времени для изучения отдельных тем, предложенные в настоящей программе, надо
рассматривать как примерные ориентиры в помощь составителю авторской рабочей программы,
и прежде всего учителю. Автор рабочей программы вправе увеличить или уменьшить
предложенное число учебных часов на тему, чтобы углубиться в тематику, заинтересовавшую
обучающихся, или направить усилия на преодоление затруднений. Допустимо также локальное
перераспределение и перестановка элементов содержания курса внутри данного класса.
Количество проверочных работ (тематический и итоговый контроль качества усвоения
учебного материала) и их тип (самостоятельные и контрольные работы, тесты) остаются на
усмотрение учителя.
Также учитель вправе увеличить или уменьшить число учебных часов, отведённых в
Примерной рабочей программе на обобщение, повторение, систематизацию знаний
обучающихся. Единственным, но принципиально важным критерием является достижение
результатов обучения, указанных в настоящей программе.
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
«МАТЕМАТИКА»
Освоение учебного предмета «Математика» должно обеспечивать достижение на уровне
среднего общего образования следующих личностных, метапредметных и предметных
образовательных результатов:
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы учебного предмета «Математика»
характеризуются:
Гражданское воспитание:
сформированностью гражданской позиции обучающегося как активного и ответственного
члена российского общества, представлением о математических основах функционирования
различных структур, явлений, процедур гражданского общества (выборы, опросы и пр.),
умением взаимодействовать с социальными институтами в соответствии с их функциями и
назначением.
Патриотическое воспитание:
сформированностью российской гражданской идентичности, уважения к прошлому и
настоящему российской математики, ценностным отношением к достижениям российских
математиков и российской математической школы, к использованию этих достижений в других
науках, технологиях, сферах экономики.
Духовно-нравственное воспитание:
осознанием духовных ценностей российского народа; сформированностью нравственного
сознания, этического поведения, связанного с практическим применением достижений науки и
деятельностью учёного; осознанием личного вклада в построение устойчивого будущего.
Эстетическое воспитание:
эстетическим отношением к миру, включая эстетику математических закономерностей,
объектов, задач, решений, рассуждений; восприимчивостью к математическим аспектам
различных видов искусства.
Физическое воспитание:
сформированностью умения применять математические знания в интересах здорового и
безопасного образа жизни, ответственного отношения к своему здоровью (здоровое питание,
сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая активность); физического
совершенствования при занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью.
Трудовое воспитание:

5

готовностью к труду, осознанием ценности трудолюбия; интересом к различным сферам
профессиональной деятельности, связанным с математикой и её приложениями, умением
совершать осознанный выбор будущей профессии и реализовывать собственные жизненные
планы; готовностью и способностью к математическому образованию и самообразованию на
протяжении всей жизни; готовностью к активному участию в решении практических задач
математической направленности.
Экологическое воспитание:
сформированностью экологической культуры, пониманием влияния социальноэкономических процессов на состояние природной и социальной среды, осознанием глобального
характера экологических проблем; ориентацией на применение математических знаний для
решения задач в области окружающей среды, планирования поступков и оценки их возможных
последствий для окружающей среды.
Ценности научного познания:
сформированностью мировоззрения, соответствующего современному уровню развития
науки и общественной практики, пониманием математической науки как сферы человеческой
деятельности, этапов её развития и значимости для развития цивилизации; овладением языком
математики и математической культурой как средством познания мира; готовностью
осуществлять проектную и исследовательскую деятельность индивидуально и в группе.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Метапредметные результаты освоения программы учебного предмета «Математика»
характеризуются овладением универсальными познавательными действиями, универсальными
коммуникативными действиями, универсальными регулятивными действиями.
1)Универсальные познавательные действия, обеспечивают формирование базовых
когнитивных процессов обучающихся (освоение методов познания окружающего мира;
применение логических, исследовательских операций, умений работать с информацией).
Базовые логические действия:

выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов,
понятий, отношений между понятиями; формулировать определения понятий; устанавливать
существенный признак классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии
проводимого анализа;

воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и
отрицательные, единичные, частные и общие; условные;
 выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах,
данных, наблюдениях и утверждениях; предлагать критерии для выявления закономерностей и
противоречий;
 делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных
умозаключений, умозаключений по аналогии;
 проводить самостоятельно доказательства математических утверждений (прямые и от
противного), выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры; обосновывать
собственные суждения и выводы;
 выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения,
выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:

использовать вопросы как исследовательский инструмент познания;
формулировать вопросы, фиксирующие противоречие, проблему, устанавливать искомое и
данное, формировать гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;

проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование по
установлению особенностей математического объекта, явления, процесса, выявлению
зависимостей между объектами, явлениями, процессами;

6


самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведенного наблюдения, исследования, оценивать достоверность полученных результатов,
выводов и обобщений;

прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения
о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
 выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на вопрос и для
решения задачи;

выбирать информацию из источников различных типов, анализировать,
систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и форм представления;

структурировать информацию, представлять её в различных формах,
иллюстрировать графически;

оценивать надёжность информации по самостоятельно сформулированным
критериям.
2) Универсальные коммуникативные действия, обеспечивают сформированность
социальных навыков обучающихся.
Общение:

воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями
общения; ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных текстах,
давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;

в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы,
решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои суждения
с суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций; в
корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;

представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта;
самостоятельно выбирать формат выступления с учетом задач презентации и особенностей
аудитории.
Сотрудничество:

понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при
решении учебных задач; принимать цель совместной деятельности, планировать организацию
совместной работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат
работы; обобщать мнения нескольких людей;

участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнениями,
«мозговые штурмы» и т.п.); выполнять свою часть работы и координировать свои действия с
другими членами команды; оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям,
сформулированным участниками взаимодействия.
3) Универсальные регулятивные действия, обеспечивают формирование смысловых
установок и жизненных навыков личности.
Самоорганизация:

составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с учётом
имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты
решений с учётом новой информации.
Самоконтроль:

владеть навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых
действий и мыслительных процессов, их результатов; владеть способами самопроверки,
самоконтроля процесса и результата решения математической задачи;

предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить
коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, данных, найденных ошибок,
выявленных трудностей;

7


оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины
достижения или недостижения результатов деятельности, находить ошибку, давать оценку
приобретённому опыту.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Предметные результаты освоения рабочей программы по математике представлены по
годам обучения в рамках отдельных курсов в соответствующих разделах настоящей Программы.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И
СТАТИСТИКА»
ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
Учебный курс «Вероятность и статистика» углублённого уровня является продолжением
и развитием одноименного учебного курса углублённого уровня основной школы. Курс
предназначен для формирования у обучающихся статистической культуры и понимания роли
теории вероятностей как математического инструмента для изучения случайных событий,
величин и процессов. При изучении курса обогащаются представления учащихся о методах
исследования изменчивого мира, развивается понимание значимости и общности
математических методов познания как неотъемлемой части современного естественнонаучного
мировоззрения.
Содержание курса направлено на закрепление знаний, полученных при изучении курса
основной школы и на развитие представлений о случайных величинах и взаимосвязях между
ними на важных примерах, сюжеты которых почерпнуты из окружающего мира. В результате у
обучающихся должно сформироваться представление о наиболее употребительных и общих
математических моделях, используемых для описания антропометрических и демографических
величин, погрешностей в различные рода измерениях, длительности безотказной работы
технических устройств, характеристик массовых явлений и процессов в обществе. Учебный курс
является базой для освоения вероятностно-статистических методов, необходимых специалистам
не только инженерных специальностей, но также социальных и психологических, поскольку
современные общественные науки в значительной мере используют аппарат анализа больших
данных. Центральную часть курса занимает обсуждение закона больших чисел –
фундаментального закона природы, имеющего математическую формализацию.
В соответствии с указанными целями в структуре учебного курса «Вероятность и
статистика» средней школы на углублённом уровне выделены основные содержательные линии:
«Случайные события и вероятности» и «Случайные величины и закон больших чисел».
Помимо основных линий в курс включены элементы теории графов и теории множеств,
необходимые для полноценного освоения материала данного учебного курса и смежных
математических учебных курсов.
Содержание линии «Случайные события и вероятности» служит основой для
формирования представлений о распределении вероятностей между значениями случайных
величин. Важную часть в этой содержательной линии занимает изучение геометрического и
биномиального распределений и знакомство с их непрерывными аналогами — показательным и
нормальным распределениями.
Темы, связанные с непрерывными случайными величинами и распределениями,
акцентируют внимание школьников на описании и изучении случайных явлений с помощью
непрерывных функций. Основное внимание уделяется показательному и нормальному
распределениям.
В курсе предусматривается ознакомительное изучение связи между случайными
величинами и описание этой связи с помощью коэффициента корреляции и его выборочного
аналога. Эти элементы содержания развивают тему «Диаграммы рассеивания», изученную в
основной школе, и во многом опираются на сведения из курсов алгебры и геометрии.
Ещё один элемент содержания, который предлагается на ознакомительном уровне —
последовательность случайных независимых событий, наступающих в единицу времени.
Ознакомление с распределением вероятностей количества таких событий носит развивающий

8

характер и является актуальным для будущих абитуриентов, поступающих на учебные
специальности, связанные с общественными науками, психологией и управлением.
МЕСТО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
В Учебном плане на изучение учебного курса «Вероятность и статистика» на углублённом
уровне отводится 1 учебный час в неделю в течение каждого года обучения, всего 70 учебных
часов.
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ РАБОЧЕЙ
ПРОГРАММЫ (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
Освоение учебного курса «Вероятность и статистика» на уровне среднего общего
образования должно обеспечивать достижение следующих предметных образовательных
результатов:
10 класс

Свободно оперировать понятиями: граф, плоский граф, связный граф, путь в графе,
цепь, цикл, дерево, степень вершины, дерево случайного эксперимента.

Свободно оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт), случайное
событие, элементарное случайное событие (элементарный исход) случайного опыта; находить
вероятности событий в опытах с равновозможными элементарными событиями.

Находить и формулировать события: пересечение, объединение данных событий,
событие, противоположное данному; использовать диаграммы Эйлера, координатную прямую
для решения задач; пользоваться формулой сложения вероятностей для вероятностей двух и трех
случайных событий.

Оперировать понятиями: условная вероятность, умножение вероятностей,
независимые события, дерево случайного эксперимента; находить вероятности событий с
помощью правила умножения, дерева случайного опыта, использовать формулу полной
вероятности, формулу Байеса при решении задач; определять независимость событий по
формуле и по организации случайного эксперимента.

Применять изученные комбинаторные формулы для перечисления элементов
множеств, элементарных событий случайного опыта, решения задач по теории вероятностей.

Свободно оперировать понятиями: бинарный случайный опыт (испытание), успех
и неудача, независимые испытания, серия испытаний; находить вероятности событий: в серии
испытаний до первого успеха; в серии испытаний Бернулли; в опыте, связанном со случайным
выбором из конечной совокупности.

Свободно оперировать понятиями: случайная величина, распределение
вероятностей, диаграмма распределения, бинарная случайная величина, геометрическое,
биномиальное распределение.
11 класс

Оперировать понятиями: совместное распределение двух случайных величин;
использовать таблицу совместного распределения двух случайных величин для выделения
распределения каждой величины, определения независимости случайных величин.

Свободно оперировать понятием математического ожидания случайной величины
(распределения); применять свойства математического ожидания при решении задач; вычислять
математическое ожидание биномиального и геометрического распределений.

Свободно оперировать понятиями: дисперсия, стандартное отклонение случайной
величины; применять свойства дисперсии случайной величины (распределения) при решении
задач; вычислять дисперсию и стандартное отклонение геометрического и биномиального
распределений.

Вычислять выборочные характеристики по данной выборке и оценивать
характеристики генеральной совокупности данных по выборочным характеристикам. Оценивать
вероятности событий и проверять простейшие статистические гипотезы, пользуясь изученными
распределениями.

9

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
10 класс
Граф, связный граф, пути в графе: циклы и цепи. Степень (валентность) вершины. Графы
на плоскости. Деревья.
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные события
(исходы). Вероятность случайного события. Близость частоты и вероятности событий.
Случайные опыты с равновозможными элементарными событиями.
Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные события.
Диаграммы Эйлера. Формула сложения вероятностей.
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного эксперимента.
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Независимые события.
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые испытания. Серия
независимых испытаний до первого успеха. Перестановки и факториал. Число сочетаний.
Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона.
Серия независимых испытаний Бернулли. Случайный выбор из конечной совокупности.
Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма распределения. Операции
над случайными величинами. Бинарная случайная величина. Примеры распределений, в том
числе геометрическое и биномиальное.
11 класс
Совместное распределение двух случайных величин. Независимые случайные величины.
Математическое ожидание случайной величины (распределения). Примеры применения
математического ожидания (страхование, лотерея). Математическое ожидание бинарной
случайной величины. Математическое ожидание суммы случайных величин. Математическое
ожидание геометрического и биномиального распределений.
Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины (распределения). Дисперсия
бинарной случайной величины. Математическое ожидание произведения и дисперсия суммы
независимых случайных величин. Дисперсия и стандартное отклонение биномиального
распределения. Дисперсия и стандартное отклонение геометрического распределения.
Неравенство Чебышёва. Теорема Чебышёва. Теорема Бернулли. Закон больших чисел.
Выборочный метод исследований. Выборочные характеристики. Оценивание вероятности
события по выборочным данным. Проверка простейших гипотез с помощью изученных
распределений.
Непрерывные случайные величины. Примеры. Функция плотности вероятности
распределения. Равномерное распределение и его свойства. Задачи, приводящие к
показательному распределению. Задачи, приводящие к нормальному распределению. Функция
плотности вероятности показательного распределения, функция плотности вероятности
нормального распределения. Функция плотности и свойства нормального распределения.
Последовательность одиночных независимых событий. Задачи, приводящие к
распределению Пуассона.
Ковариация двух случайных величин. Коэффициент линейной корреляции. Совместные
наблюдения двух величин. Выборочный коэффициент корреляции. Различие между линейной
связью и причинно-следственной связью. Линейная регрессия, метод наименьших квадратов.

10

11

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА»
10 класс (очная и очно-заочная формы обучения)

1 ч в неделю, всего 35 ч, 1 ч — резервное время
Название
раздела (темы)

Количество
часов
теории
3ч

Основное содержание
Граф, связный граф, представление задачи с
помощью графа. Степень (валентность) вершины. Путь
в графе. Цепи и циклы. Графы на плоскости. Дерево
случайного эксперимента

1.

Элементы
графов

2.

Случайные опыты,
случайные события
и
вероятности
событий

3ч

Случайные эксперименты (опыты) и случайные
события. Элементарные события (исходы). Вероятность
случайного события. Вероятности событий в опытах с
равновозможными элементарными событиями

3.

Операции
множествами
событиями.
Сложение
умножение
вероятностей.
Условная
вероятность.
Независимые
события

5ч

Пересечение, объединение множеств и событий,
противоположные
события.
Формула
сложения
вероятностей Условная вероятность. Умножение
вероятностей. Формула условной вероятности. Формула
полной вероятности. Формула Байеса. Независимые
события

над
и
и

Основные виды
деятельности обучающихся
Представлять объекты и связи между ними с
помощью графа, находить пути между вершинами графа.
Выделять в графе цепи и циклы.
Строить дерево по описанию случайного опыта,
описывать случайные события в терминах дерева.
Решать задачи с помощью графов
Выделять и описывать случайные события в
случайном опыте.
Формулировать условия проведения случайного
опыта.
Находить вероятности событий в опытах с
равновозможными элементарными исходами
Использовать диаграммы Эйлера и вербальное
описание событий при выполнении операций над
событиями.
Оценивать изменение вероятностей событий по
мере наступления других событий в случайном опыте.
Решать задачи, в том числе с использованием дерева
случайного опыта, формул сложения и умножения
вероятностей

12

4.

Элементы
комбинаторики

3ч

Комбинаторное правило умножения. Перестановки
и факториал. Число сочетаний. Треугольник Паскаля.
Формула бинома Ньютона

5.

Серии
последовательных
испытаний.
Испытания
Бернулли.
Случайный выбор
из
конечной
совокупности

5ч

Бинарный случайный опыт (испытание), успех и
неудача. Независимые испытания. Серия независимых
испытаний до первого успеха. Серия независимых
испытаний Бернулли. Случайный выбор из конечной
совокупности.
Практическая работа с использованием электронных
таблиц

6.

Случайные
величины
распределения

16 ч

Случайная величина. Распределение вероятностей.
Диаграмма распределения. Операции над случайными
величинами. Примеры распределений. Бинарная
случайная величина. Геометрическое распределение.
Биномиальное
распределение.
Математическое
ожидание
случайной
величины.
Совместное
распределение двух случайных величин. Независимые
случайные величины. Свойства математического
ожидания. Математическое ожидание бинарной
случайной величины. Математическое ожидание
геометрического и биномиального распределений.
Дисперсия и стандартное отклонение. Дисперсия
бинарной случайной величины. Свойства дисперсии.
Математическое ожидание произведения и дисперсия
суммы независимых случайных величин. Дисперсия
биномиального распределения.

и

Формулировать и доказывать комбинаторные
факты.
Использовать правило умножения, изученные
комбинаторные формулы для перечисления элементов
различных множеств, в том числе элементарных событий
в случайном опыте.
Пользоваться формулой и треугольником Паскаля
для определения числа сочетаний.
Применять формулу бинома Ньютона для
преобразования выражений
Разбивать сложные эксперименты на отдельные
испытания.
Решать задачи на поиск вероятностей событий в
серии испытаний до первого успеха и в сериях
испытаний Бернулли, а также в опытах со случайным
выбором из конечной совокупности с использованием
комбинаторных фактов и формул, в том числе в ходе
практической работы с применением стандартных
функций

Осваивать
понятия:
случайная
величина,
распределение, таблица распределения, диаграмма
распределения.
Находить значения суммы и произведения
случайных величин.
Строить бинарные распределения по описанию
событий в случайных опытах.
Строить и распознавать геометрическое и
биномиальное распределения.
Решать задачи на вычисление математического
ожидания.
Строить совместные распределения.
Изучать свойства математического ожидания.
Решать задачи с помощью изученных свойств.

13

Практическая работа с использованием электронных
таблиц

По изученным формулам находить математические
ожидания случайных величин, имеющих геометрическое
и биномиальное распределения
Осваивать понятия: дисперсия, стандартное
отклонение случайной величины.
Находить дисперсию по распределению.
Изучать свойства дисперсии.
По изученным формулам находить дисперсию
биномиального распределения, в том числе в ходе
практической работы

11 класс (очная и очно-заочная формы обучения)

1 ч в неделю, всего 34 ч, 1 ч — резервное время
№
п/п

Название раздела Коли(темы)
чество
часов
1. Закон
больших
5ч
чисел
2. Элементы
математической
статистики

6ч

3. Непрерывные
случайные
величины
(распределения),

4ч

Основное содержание
Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
Теорема Бернулли. Закон больших чисел. Выборочный
метод исследований.
Практическая
работа
с
использованием
электронных таблиц
Генеральная совокупность и случайная выборка.
Знакомство с выборочными характеристиками. Оценка
среднего и дисперсии генеральной совокупности с
помощью выборочных характеристик. Оценивание
вероятностей событий по выборке.
Статистическая гипотеза. Проверка простейших
гипотез с помощью свойств изученных распределений.
Практическая
работа
с
использованием
электронных таблиц
Примеры непрерывных случайных величин.
Функция плотности вероятности. Равномерное
распределение. Примеры задач, приводящих к
показательному и к нормальному распределениям.
Функция плотности вероятности показательного

Основные виды
деятельности обучающихся
Разбирать доказательства теорем.
Осваивать выборочный метод исследований, в том
числе в ходе практической работы
Осваивать понятия: генеральная совокупность,
выборка, выборочное среднее и выборочная дисперсия.
Вычислять выборочные характеристики и на их
основе
оценивать
характеристики
генеральной
совокупности.
Осваивать понятия: статистическая гипотеза.
Оценивать вероятность событий и проверять
простейшие гипотезы на основе выборочных данных, в
том числе в ходе практической работы
Знакомиться понятиями: непрерывная случайная
величина, непрерывное распределение, функция
плотности вероятности.
Находить вероятности событий по данной функции
плотности.

14

показательное
нормальное
распределения

распределения. Функция плотности
нормального распределения

и

4. Распределение
Пуассона

2ч

5. Связь
между
случайными
величинами

6ч

6. Обобщение
систематизация
знаний

11 ч

и

вероятности

Последовательность одиночных независимых
событий. Пример задачи, приводящей к распределению
Пуассона.
Практическая
работа
с
использованием
электронных таблиц
Ковариация
двух
случайных
величин.
Коэффициент корреляции. Совместные наблюдения
двух величин. Выборочный коэффициент корреляции.
Различие между линейной связью и причинноследственной
связью.
Линейная
регрессия.
Практическая работа с использованием электронных
таблиц

Представление данных с помощью таблиц и
диаграмм, описательная статистика, опыты с
равновозможными
элементарными
событиями,
вычисление вероятностей событий с применением
формул и графических методов (координатная прямая,
дерево, диаграмма Эйлера), случайные величины и
распределения, математическое ожидание случайной
величины

Знакомиться
с
понятиями:
показательное
распределение, нормальное распределение.
Выделять по описанию случайные величины,
распределенные по показательному закону, по
нормальному закону.
Разбирать примеры задач, приводящих к
показательному распределению и к нормальному
распределению
Выделять по описанию случайного опыта величины,
распределенные по закону Пуассона.
Решать задачи, в том числе в ходе практической
работы с применением
стандартных функций
электронных таблиц
Осваивать понятия: ковариация, коэффициент
корреляции, линейная зависимость.
Оценивать характер связи между случайными
величинами, исходя из природы данных и вычисленных
характеристик.
Использовать
диаграммы
рассеивания
для
изображения совместного рассеивания данных.
Находить коэффициенты оси диаграммы, в том
числе в ходе практической работы с применением
стандартных функций
Повторять изученное и выстраивать систему знаний